Kapitel 1 - Schaltungstechnik I

Kapitel 1 erstreckt sich über zwei Wochen und führt umfassend in die Grundlagen der Schaltungstechnik als ein wesentlicher Baustein der Rechnertechnik ein. Zunächst formalisiert die Boolesche Algebra mathematisch die Klasse von Funktionen, die wir in der Hardware darstellen werden. Die Gatterlogik stellt elektronische Bauteille zur Verfügung, die elementare Boolesche Funktionen implementieren, und die wir zu komplexerer Funktionalität zusammensetzen. Schließlich lernen wir etwas Elektrotechnik und skizzieren, wie die Logikgatter physikalisch durch Transistoren in integrierten Schaltkreisen realisiert werden können.

Abschnitte 1 und 2 sowie 3 und 4 sind jeweils für eine Woche gedacht, jedoch ist der Inhalt in den ersten beiden Abschnitten deutlich dichter. Es bietet sich daher an, das Studium der Abschnitte, die mit "optional" markiert sind, eventuell auf die zweite Woche zu verschieben.

Inhalt

Abschnitt 1 - Einleitung, Boolesche Algebra

Folien 1-8

Unser zentrales mathematisches System ist die Schaltalgebra, die nur aus den Elementen 1 und 0 besteht. Sie ist ein Beispiel für eine Boolesche Algebra, und hat daher die drei Verknüpfungen Konjunktion, Disjunktion und Negation zusammen mit den dort geltenden Rechenregeln. Wir gewinnen einen Überblick über die Regeln und einige Zusammenhänge zu den klassischen Denkgesetzen der Philosophie, welche ursprünglich durch die Schaltalgebra formalisiert werden sollten.


Index

00:00 Überblick des Kapitels
03:21 Hintergrund und Definition der Booleschen Algebra
09:40 Die Schaltagebra als spezielle Boolesche Algebra
15:24 Bemerkungen zur Notation
20:24 Dualität von Gleichungen
22:26 Bemerkungen zu Aussagenlogik und Philosophie


Vertiefung - Details zur Booleschen Algebra

Wir füllen einige Lücken, die im ersten Video geblieben sind. Zunächst wird ein minimales Axiomensystem für eine Boolesche Algebra angegeben. Dann lernen wir Beweistechniken für die Gleichheit von Booleschen Ausdrücken, und leiten damit einige Aussagen aus dem größeren Axiomensystem her aus dem minimalen Axiomensystem. Schließlich zeigen wir, daß die Schaltalgebra, wie wir sie definiert haben, tatsächlich eine Boolesche Algebra ist. Zum Abschluß schauen wir uns als weiteres interessantes Beispiel für eine Boolesche Algebra die Mengenalgebra an.

Bemerkung: Ich sage im Video leider des öfteren "Komplement von A" anstelle des eigentlich angemessenen "Nicht A" . Der Grund ist, daß ich gerade an Mengenalgebra gedacht habe, wo "Nicht A" das Mengenkomplement meint. Ich bitte, das zu entschuldigen, und die beiden hier als Synonym zu verstehen.

Dieses Video hat einige optionale Inhalte, im Sinne dass sie zwar sehr interessante Techniken und Zusammenhänge erläutern, aber für den weiteren Inhalt der Vorlesung nicht direkt relevant sind. Es bleibt daher Ihnen überlassen, ob Sie diese und folgende optionalen Inhalte anschauen wollen.


Index

00:00 Einleitung
02:05 Minimales Axiomensystem
04:20 Beweis Extremalität aus minimalem Axiomensystem
08:49 Beweis Idempotenz aus minimalem Axiomensystem
11:55 Bemerkungen zur Assoziativität
12:30 Optional: Fortgeschrittene Beweistechnik für Gleichheit
20:35 Optional: mit dieser Technik Beweis von de Morgan aus den übrigen Gesetzen der Booleschen Algebra
26:15 Warum ist die Schaltalgebra eine Boolesche Algebra?
32:50 Optional: Die Mengenalgebra als Boolesche Algebra
40:50 Optional: Beweise in der Mengenalgebra durch Venn-Diagramme


Abschnitt 2 - Boolesche Funktionen

Folien 9-22

Wir führen den Begriff der Booleschen Funktion ein, und überlegen, wie wir diese Funktionen darstellen können. Offensichtlich ist zunächst die Darstellung als Wertetabelle, aber wir zeigen sodann, daß wir jede Wertetabelle auch über Ausdrücke der Schaltalgebra realisieren können. Dies geschieht über die Normalformen, von denen es eine konjunktive und disjunktive Form gibt, die in gewisser Weise dual zueinander sind. Die Darstellung gibt einen Beweis, dass man mit den drei elementaren Verknüpfungen der Algebra jede Boolesche Funktion realisieren kann. Eine Menge von Operationen mit dieser Eigenschaft heißt "vollständig". Wir zeigen, daß außerdem die Operation NAND alleine bereits eine vollständige Operationenmenge bildet. Gleiches gilt für NOR, wie in einer Übungsaufgabe gezeigt wird.


Index

00:00 Definitionen und Notation zu Booleschen Funktionen, Ausblick
05:00 Zwei kleine Beispiele für Boolesche Funktionen
09:17 Alle zweistelligen Booleschen Funktionen
11:50 Darstellung durch Wahrheitswertetafeln
14:05 Darstellung durch Formeln der Schaltalgebra, Normalformen
17:48 Konstruktion der disjunktiven Normalform
21:55 Warum funktioniert die Konstruktion?
26:00 Konstruktion der konjunktiven Normalform
28:29 Warum funktioniert die Konstruktion?
32:34 Alternative Ableitung der konjunktiven Normalform
39:03 Dualität der Normalformen
41:55 Welche Normalform verwendet man wann?
44:07 Vollständige Operationenmengen, Beispiele {NAND}, {NOR}


Vertiefung - Details zu Booleschen Funktionen

Wir machen einen Schnelldurchgang durch alle zweistelligen Booleschen Funktionen und schauen, woher sie ihre Namen haben, und welche Bedeutung sie eventuell in der Aussagenlogik haben. Sodann zählen wir als kleine Übung mit Hilfe bekannter kombinatorischer Hilfsmittel nach, wie viele n-stellige Boolesche Funktionen es gibt, die genau k Einsen in der Ausgabe haben, d.h. für genau k Wertekombinationen den Wert Eins annehmen. Schliesslich schauen wir uns noch in Ruhe an, wie man die konjunktive Normalform ganz allgemein für n-stellige Funktionen streng formal einführen kann, und ausserdem die Gleichheit zur ursprünglichen Funktion beweist.


Index

00:00 Detaillierte Diskussion aller zweistelligen Booleschen Funktionen
19:50 Optional: Zählen für Fortgeschrittene (Kombinatorik) - Pascalsches Dreieck, Binomialkoeffizienten
27:05 Optional: Allgemeine Herleitung der disjunktiven Normalform, mit Beweis der Korrektheit


Abschnitt 3 - Gatterlogik

Folien 23-35

Wir lernen die Grundlagen, wie wir Boolesche Funktionen durch elektrische Schaltkreise implementieren können. Dabei bleiben wir hier auf einer hohen Abstraktionsebene, auf der die Schaltkreise noch nicht die fertige physikalische Implementierung zeigen, da wesentliche Bestandteile eines Stromkreises noch fehlen. Stattdessen arbeiten wir abstrakt mit Logikgattern, deren Ein- und Ausgänge abstrakt mit Null und Eins statt echten Spannungen belegt werden. Über die Darstellung als Normalform, bzw. mit Hilfe von minimalen Operationenmengen können wir nun jede Boolesche Funktion mit Hilfe einer Grundmenge an Gattern darstellen. Als wichtige Beispiele lernen wir Bitmustererkennung sowie Datenflusssteuerung mit Multiplexer und Dekodierer kennen.


Index

00:00 Überblick, Schaltzeichen der Logikgatter
02:40 Zusammensetzen von Gattern, Schnittstelle und Implementierung
06:28 Beispiel: XOR aus AND/OR/NOT über Normalform
10:20 Übertragung der vollständigen Operationenmengen in die Gatterlogik
12:55 Erkennen von Bitmustern
15:42 Einfache Datenflusssteuerung (eine Datenleitung)
19:00 Multiplexer (mehrere Datenleitungen)
26:30 Schaltnetz für den Multiplexer
29:00 Dekodierer
33:56 Schaltnetz für den Dekodierer
37:08 Kombination von Dekodierer mit Multiplexer in einer Schaltung, Ausblick

Errata

12:30 Die Sprechblase mit der Warnung ist zeitlich verrutscht, sie gehört an 25:00. Also ein Fehler in der Korrektur des Fehlers :(.
25:00 Entsprechend ist hier korrekt: $D_2$, falls $C_2=1$.


Abschnitt 4a - Schaltnetze: Grundlagen Elektrotechnik, der Feldeffekttransistor

Folien 36-54

Vorbemerkung: Abschnitt 4 ist zeitlich sehr lang und daher zweigeteilt. Allerdings ist die Tiefe nicht sonderlich furchteinflößend, es geht mehr darum, etwas Allgemeinwissen aufzubauen, wie die Elektrotechnik sich entwickelt hat, um integrierte Logik-Schaltkreise aufzubauen, sowie deren grundlegende Funktionsweise zu verstehen. Was Sie hier mitnehmen sollten, ist vor allem das Funktionsprinzip der Feldeffekttransistoren und die Unterscheidung der verschiedenen Typen (vor allem P und N), sowie die Realisierung einfacher Logikgatter in CMOS-Technologie (Teil B).

Wir erinnern uns, wie Stromkreise funktionieren, und überlegen, wie man die elementaren Gatter AND, OR, NOT (und damit NAND, NOR) durch einfach Stromkreise mit Schaltern, Lampen und Widerständen abbilden kann. In Rechnern braucht man elektrische Schalter, und wir studieren ein wenig die physikalischen Grundprinzipien, die über die Vakuumröhre zum ersten Transistor geführt haben. Schließlich schauen wir uns im Detail das Funktionsprinzip des Feldeffekttransistors and, wie er in modernen integrierten Schaltkreisen auftaucht. Wir unterscheiden die verschiedenen Typen und deuten an, wie man sich komplementäre Typen zunutze macht, um rein spannungsbasierte Gatter zu realisieren.


Index

00:00 Einführung
04:30 Einfache Logikgatter aus elektrischen Schaltern
10:35 Realisierung von Negationen durch Widerstände
15:36 Entwicklung der elektrischen Schalter: die Vakuumröhre
22:55 Der erste Transistor: Funktionsweise des Bipolartransistors
27:08 Bipolar- vs. Feldeffekttransistor, Aufbau eines MOSFET
30:35 Physikalische Funktionsweise des MOSFET
43:22 Klassifikation der verschiedenen Typen von MOSFETs
49:34 Schaltzeichen für verschiedene Transistortypen
52:40 Grundidee zur Verwendung von Transistoren in Schaltkreisen


Abschnitt 4b - Schaltnetze: Transistorschaltungen, integrierte Schaltkreise

Folien 55-79

Im Anschluss an Teil A, in dem die Grundlagen elektrischer Schaltkreise und des FET erklärt wurden, werden hier elementare Logikgatter in CMOS-Technologie (d.h. durch Nutzung komplementär geschalteter N- und P-Transistoren) aufgebaut, die rein spannungsgesteuert arbeiten. Wir machen dann einen kurzen Ausflug in die Fertigung von Mikrochips und die geschichtliche Entwicklung der Technologie, die mehr Überblickscharakter hat und zum Selbststudium anregen soll.


Index

00:00 NOT-Gatter in CMOS
01:40 Einschub zur Vertiefung: Potential und Spannung
09:00 Weiter mit dem Not-Gatter in CMOS
14:46 NAND-Gatter in CMOS
23:52 NOR Gatter ist komplementär dazu (Übung !)
24:40 NAND-Gatter mit mehreren Eingängen (hier Beispiel vier)
28:00 Layout integrierter Schaltungen
35:17 Herstellung integrierter Schaltungen, Entwicklung der Strukturbreite
38:25 Highlights aus der Historie der Speicherbausteine
38:25 Highlights aus der Historie der Prozessoren
55:13 Steckplatinen-Experimente und -Simulator
59:09 Logikgatter in Minecraft, Ausblick